\### 🚀 进入问题 2：分组与时点优化 (Problem 2: Grouping \& Timing Optimization)



\*\*题目回顾\*\*：

> 对男胎孕妇的 BMI 进行合理分组，给出每组的 BMI 区间和最佳 NIPT 时点，使得孕妇可能的潜在风险最小，并分析检测误差对结果的影响。



\*\*核心难点\*\*：

1\.  \*\*“合理分组”\*\*：不是拍脑袋定区间，而是基于数据分布特征。

2\.  \*\*“潜在风险最小”\*\*：这是一个多目标优化问题（漏检风险 vs 延误风险）。

3\.  \*\*“检测误差”\*\*：需要引入概率模型。



\#### 1. 数学模型构建 (Mathematical Formulation)



\*\*A. 风险函数定义 (Risk Function)\*\*

对于某个孕妇 $i$，假设其 BMI 为 $B$，选择在孕周 $t$ 进行检测。

总风险 $R(t|B)$ 由两部分组成：

1\.  \*\*漏检风险 (False Negative Risk, $R\_{FN}$)\*\*：

&nbsp;   \*   定义：检测时浓度 $Y(t) < 4\\%$ 的概率。

&nbsp;   \*   模型：利用 GPR 或 分位数回归预测 $P(Y < 0.04 | B, t)$。

&nbsp;   \*   惩罚系数：$\\alpha$ (漏检后果严重，系数较大)。

2\.  \*\*延误风险 (Delay Risk, $R\_{Delay}$)\*\*：

&nbsp;   \*   定义：检测时间 $t$ 越晚，风险越大（题目指出：12周内低风险，13-27周高风险，28周后极高风险）。

&nbsp;   \*   模型：分段函数或指数函数 $f(t)$。

&nbsp;   \*   惩罚系数：$\\beta$。



$$ \\min\_{t} J(t) = \\alpha \\cdot P(Y(t) < 0.04 | B) + \\beta \\cdot \\text{Cost}(t) $$



\*\*B. 分组策略 (Grouping Strategy)\*\*

我们不再使用固定的 `\[20, 28)`，而是寻找 \*\*“断点 (Cut-off Points)”\*\*。

\*   \*\*思路\*\*：计算每个 BMI 值对应的“理论最佳检测时间 $t^\*(B)$”。

\*   \*\*聚类\*\*：对 $t^\*(B)$ 进行一维聚类（如 Jenks Natural Breaks 或 K-Means），将 $t^\*$ 相近的 BMI 归为一组。



\#### 2. 代码执行计划 (Execution Plan)



我将编写代码完成以下步骤：

1\.  \*\*训练概率预测模型\*\*：使用 \*\*分位数回归 (Quantile Regression, GBM)\*\* 或 \*\*GPR\*\* 来预测不同 BMI 和 孕周下的 $Y$ 浓度分布（特别是 5% 分位数，即下限）。

&nbsp;   \*   \*理由\*：我们要保证 95% 的概率浓度达标，所以看下限比看均值更重要。

2\.  \*\*定义风险成本函数\*\*：

&nbsp;   \*   $Cost(t)$:

&nbsp;       \*   $t \\le 12$: Cost = 1

&nbsp;       \*   $12 < t \\le 27$: Cost = 10

&nbsp;       \*   $t > 27$: Cost = 100

3\.  \*\*遍历寻优\*\*：

&nbsp;   \*   对于 BMI 范围 $\[18, 40]$，步长 1。

&nbsp;   \*   对于孕周 $t \\in \[10, 25]$。

&nbsp;   \*   找到使总风险最小的 $t^\*$。

4\.  \*\*分组\*\*：根据 $t^\*$ 的变化趋势确定 BMI 分组边界。



\*\*请确认是否同意使用“分位数回归”来处理“检测误差/达标概率”？这是处理“风险”最标准的做法。\*\*

(如果不反对，我将直接开始建模计算)

