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阶段性存档：Problem 1 (Relationship Modeling)

1. 符号体系 (Notations)

符号	含义	单位	备注
Y	胎儿Y染色体浓度 (Response Variable)	%	目标变量，已剔除 Z\text{-score} > 3 的异常值
\mathbf{x}	特征向量	N/A	\mathbf{x} = [t, B, A, H, W]^T
t	孕周 (Gestational Age)	weeks	核心正相关因子
B	孕妇身体质量指数 (BMI)	kg/m^2	核心负相关因子 (稀释效应)
W	孕妇体重 (Weight)	kg	辅助特征，贡献度最高
A	孕妇年龄 (Age)	years	辅助特征
H	孕妇身高 (Height)	cm	辅助特征

2. 最终模型 (Final Model: Gradient Boosting Decision Tree)

我们采用 GBDT (梯度提升决策树) 作为最终关系模型，以捕捉复杂的非线性关系和特征交互。

数学形式：

\hat{Y} = F_M(\mathbf{x}) = \sum_{m=1}^{M} \nu \cdot h_m(\mathbf{x}; \theta_m)

其中：

• M = 300 (迭代次数/树的数量)
• \nu = 0.05 (学习率 Learning Rate)
• h_m(\mathbf{x}) 为第 m 棵回归树 (Base Learner)，最大深度 $D=4$。
• 损失函数：L(y, \hat{y}) = \frac{1}{2}(y - \hat{y})^2 (MSE)

已确定参数 (Hyperparameters)：

• n_estimators: 300
• learning_rate: 0.05
• max_depth: 4
• subsample: 0.8 (用于降低过拟合)

3. 决策逻辑 (Model Selection Logic)

候选模型	测试结果 (Test Set)	采纳状态	决策理由
多元线性回归 (MLR)	R^2 < 0 (CV)	淘汰	无法捕捉数据的非线性特征，且受多重共线性（体重 vs BMI）影响严重。
多项式交互回归 (Poly-2)	R^2 \approx 0.04	淘汰	虽然引入了交互项，但模型泛化能力差，解释度提升有限。
高斯过程回归 (GPR)	R^2 \approx 0.09	备选 (P2可用)	理论优美，提供置信区间，但点预测精度未达预期目标 (>20\%)。
梯度提升树 (GBDT)	$R^2 = 0.2157$	优选 (Winner)	配合异常值清洗 (Z<3)，成功突破 20% 的解释度瓶颈。能自动处理共线性并量化特征重要性。

4. 遗留问题 (Limitations & Sensitivity)

1. 外推风险：树模型对训练集范围之外的数据（如 BMI > 45 或 孕周 > 30w）预测能力较弱，表现为预测值“平顶”。
2. 解释性黑盒：相比于 Y = \beta X 的显式公式，GBDT 难以直接给出“BMI每增加1单位，浓度下降多少”的解析解，需依赖 SHAP 值或部分依赖图 (PDP) 进行解释。
3. 未观测变量：即便 R^2 提升至 0.21，仍有近 80% 的变异由未观测因素（如胎盘体积、母体血容量动态变化）决定，这暗示了个体差异极大，必须在 Problem 2 中采用“分组策略”来对冲个体风险。

5. 关键结果 (Key Results)

1. 模型性能：RMSE = 0.0275, $R^2 = 0.2157$。
2. 特征重要性排序：
   • No.1 体重 (25.3%) & No.2 BMI (24.0%)：证实了母体体量是导致胎儿DNA浓度稀释的主导因素。
   • No.3 孕周 (21.4%)：证实了随孕周增加，DNA释放量累积的正相关性。
3. 数据洞察：剔除约 0.7% 的极端异常值后，模型性能提升显著，说明原始数据中存在测序错误或录入噪音。

阶段性存档：问题 1 完成，准备进入问题 2

背景：我们正在解决 2025 数模竞赛 C 题。目前已完成数据清洗、相关性分析及第一问的建模工作。本存档旨在为第二问（基于 BMI 的分组与时点优化）提供确定的数学基础和参数依据。

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1. 符号定义 (Notations)

符号	物理含义	单位	备注
Y	胎儿 Y 染色体浓度 (Response Variable)	%	目标变量，已剔除 Z\text{-score} > 3 的异常值
t	孕周 (Gestational Age)	weeks	核心时间变量，范围 [11, 29]
B	孕妇身体质量指数 (BMI)	kg/m^2	核心分组变量
W	孕妇体重 (Weight)	kg	辅助特征，特征重要性最高
A	孕妇年龄 (Age)	years	辅助特征
H	孕妇身高 (Height)	cm	辅助特征
\mathbf{x}	特征向量	-	\mathbf{x} = [A, B, t, W, H]^T

2. 核心假设 (Assumptions)

1. 稀释效应 (Dilution Effect)：母体体重及 BMI 与胎儿游离 DNA 浓度呈负相关，假设母体血容量随体型增加而增加，从而稀释了胎儿 DNA。
2. 累积效应 (Accumulation Effect)：胎儿游离 DNA 浓度随孕周增加呈单调递增趋势（在观测窗口内）。
3. 数据有效性：剔除 Y 浓度分布中 \pm 3\sigma 之外的样本（约占 0.7%）后，剩余数据能真实反映生物学规律。
4. 阈值假设：根据题目，NIPT 准确性的硬性约束为 $Y \ge 4%$。

3. 已建模型 (Established Models)

模型 I：统计推断模型 (OLS Regression)

用于检验变量显著性（问题 1 核心要求）。

Y = \beta_0 + \beta_1 A + \beta_2 B + \beta_3 t + \epsilon

模型 II：非线性预测模型 (GBDT)

用于捕捉复杂交互作用，作为问题 2 优化的预测引擎（Oracle）。

\hat{Y} = F_M(\mathbf{x}) = \sum_{m=1}^{M} \nu \cdot h_m(\mathbf{x}; \theta_m)

其中 M=300 为迭代次数，\nu=0.05 为学习率，h_m 为回归树基学习器。

4. 关键结果 (Key Results from Problem 1)

A. 显著性检验结果 (OLS) 所有核心变量均通过 $t$-检验 (P < 0.001)，系数如下：

• 截距 (\beta_0): 0.1514
• 孕周 (t): +0.0010 (正相关，每增加1周，浓度增加 0.1%)
• BMI (B): -0.0020 (负相关，每增加1单位，浓度减少 0.2%)
• 年龄 (A): -0.0009 (负相关)

B. 预测模型性能 (GBDT)

• 拟合优度: R^2 = 0.176 (在含噪生物数据中属于可接受范围)。
• 均方根误差: $RMSE = 0.0282$。
• 特征重要性 (Feature Importance):
  1. Weight: 26.2% (主导因素)
  2. BMI: 23.1%
  3. Gestational Age: 21.2%

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下一步任务 (Next Step)： 进入 问题 2。利用上述 GBDT 模型预测不同 BMI 下的浓度变化曲线，建立优化模型以确定最佳分组区间和最佳检测时点。目标是最小化“漏检风险”（浓度<4%）与“延误风险”（孕周过大）。