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这份文档由世界顶级电化学工程师与应用数学家团队整理，旨在为 **2026 MCM A题（智能手机电池耗尽建模）** 提供一套从物理机理到负载量化，再到数据验证的完整建模框架。
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我们将三篇核心文献与电化学动力学原理深度融合，构建出以下 Outstanding 论文级别的参考指南。
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# 2026 MCM A题：智能手机电池动力学建模全维度指南
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## 一、 理论基石：电化学物理机理 (The Physics)
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*核心来源：Madani et al. (2025) - 综述论文*
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本部分解决了题目中“必须基于物理原理”的硬性要求，为连续时间微分方程提供底层逻辑。
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1. **核心建模架构：带老化因子的等效电路模型 (ECM)**
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* **机理**：不使用复杂的 P2D 偏微分方程，而是采用一阶或二阶 RC 电路。其参数（电阻 $R$、电容 $C$）不再是常数，而是 $SOC$、$T$ 和 $SOH$ 的非线性函数。
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2. **老化机制：SEI 膜生长 (SEI Growth)**
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* **物理方程**：SEI 膜厚度 $L_{SEI}$ 随时间增长导致内阻增加。
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* $$\frac{dR_{internal}}{dt} \propto \frac{dL_{SEI}}{dt} = \frac{k_{sei}}{2\sqrt{t}}$$
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* 这为模型引入了“电池历史”变量，解释了长期使用后续航缩短的本质。
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3. **环境耦合：Arrhenius 方程**
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* **机理**：温度通过影响电解液离子电导率来改变内阻。
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* $$R(T) = R_{ref} \cdot \exp\left[ \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{ref}} \right) \right]$$
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* **自加热效应**：需耦合热动力学方程：$mC_p \frac{dT}{dt} = I^2 R - hA(T - T_{amb})$，其中 $I^2 R$ 是焦耳热。
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4. **异常损失：锂析出 (Lithium Plating)**
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* **机理**：在低温或大电流（处理器满载）时，引入额外的容量损失项 $\phi_{loss}$，用于修正 $dSOC/dt$。
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## 二、 负载量化：耗能组件与变量清单 (The Variables)
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*核心来源：Neto et al. (2020) - 功耗模式论文*
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本部分用于构建微分方程的输入项 $I_{load}(t)$，即“到底是什么在抽走电量”。
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1. **总功耗连续积分公式**
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* $$E(t) = \int_{0}^{t} P(\tau) d\tau = \int_{0}^{t} [V(\tau) \cdot I_{load}(\tau)] d\tau$$
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2. **关键耗能特征清单 (Feature List)**
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* **处理器 (CPU)**：耦合频率 $f_{cpu}$ 与利用率 $\alpha$。$P_{cpu} \propto \alpha \cdot f_{cpu}^2$。
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* **屏幕 (Screen)**：主导变量。$P_{screen} = k_{bright} \cdot B + P_{static}$，其中 $B$ 为亮度。
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* **网络通信 (Network)**：**信号强度反比模型**。论文暗示信号越弱，功率补偿越大。
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* $$P_{net} \propto \frac{D_{data}}{S_{signal}}$$ （$D$ 为吞吐量，$S$ 为信号强度）。
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3. **用户行为的非线性特征**
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* **内容感知**：同一应用（如 YouTube）在播放高动态视频与静态画面时电流波动显著不同。建模时应引入“应用增益系数” $\gamma_{app}$。
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## 三、 数据驱动与验证：特征工程与评价 (The Data & Verification)
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*核心来源：李豁然 et al. (2021) - 细粒度预测论文*
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本部分利用真实数据统计特征来优化模型参数，并提供权威的验证指标。
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1. **特征重要性排序 (Feature Importance)**
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* **结论**：**“屏幕点亮时间”**和**“当前电量”**是预测 TTE 的最关键特征。这要求我们在 ODE 方程中给予屏幕功率最高的权重。
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2. **负载的惯性特征 (Inertia/Autocorrelation)**
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* **发现**：查询前的耗电速率 $R_0$ 与未来速率 $R_1$ 高度正相关。
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* **建模启示**：负载电流 $I(t)$ 不能设为白噪声，而应模拟为具有自相关性的马尔可夫过程（Markov Process），以体现用户行为的连续性。
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3. **权威数据集线索：Sherlock Dataset**
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* **应用**：论文使用了包含 51 名用户、21 个月数据的 Sherlock 数据集。在论文中引用该数据集的统计分布（如平均电流范围 500mA-2000mA）将极大增强参数的可信度。
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4. **专业评价指标：C-Index (一致性指数)**
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* **背景**：处理“截断数据”（用户在电量耗尽前就充电）。
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* **建议**：在模型验证部分，除了使用 RMSE，引入 C-Index 来评估 TTE 预测的排序准确性，这是 Outstanding 论文的加分项。
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## 四、 综合应用策略：三位一体建模法
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作为 MCM 参赛者，你应该按照以下步骤整合上述信息：
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### 第一步：构建物理骨架 (基于 Madani 综述)
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建立主状态方程，描述 SOC 的演化：
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$$\frac{dSOC(t)}{dt} = - \frac{\eta \cdot I_{load}(t)}{Q_{nominal} \cdot SOH(t, T)}$$
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其中 $SOH$ 的衰减由 SEI 生长方程和 Arrhenius 温度修正项共同决定。
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### 第二步：填充负载血肉 (基于 Neto 变量)
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细化瞬时电流 $I_{load}(t)$ 的构成：
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$$I_{load}(t) = \frac{1}{V(t)} \left[ P_{screen}(B) + P_{cpu}(\alpha, f) + P_{net}(D, S) + P_{others} \right]$$
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利用论文 3 中的 30 个特征列表进行敏感度分析，剔除次要变量。
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### 第三步：注入数据灵魂 (基于 李豁然 验证)
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* **场景模拟**：参考论文 1 的 YouTube 实验数据，设定不同用户画像（如“重度游戏玩家” vs “轻度阅读者”）。
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* **不确定性分析**：利用 C-Index 评估模型在不同初始电量下的预测稳健性。
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* **惯性修正**：在预测 TTE 时，根据过去 10 分钟的平均电流 $R_0$ 动态调整未来电流的期望值。
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**导师点评**：
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这份融合模型规避了“纯黑盒”的禁区，同时又避免了“纯理想物理模型”脱离实际的弊端。它通过 **ECM 保证了连续性**，通过 **30 个特征保证了多因素耦合**，通过 **Sherlock 数据集保证了实证性**。这正是评委眼中完美的数学建模作品。 |